Persamaan Linear (Matematika Teknik)

oleh

Menggambar Grafik Persamaan Linear

Sebuah persamaan linear secara umum dapat dituliskan sebagai:
[ y = mx + c ]

Dimana ( c ) adalah perpotongan antara garis dengan sumbu y (titik (0,c)) dan ( m ) adalah gradien atau kemiringan sebuah garis.

[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ]

Contoh 1.1

Buatlah grafik dari fungsi ( x – 2y = 0 )

Penyelesaian

Ubah persamaan menjadi ( y = \frac{x}{2} ). Diperoleh nilai ( c = 0 ), artinya garis akan memotong sumbu-y di ( y = 0 ) (titik (0,0)). Selanjutnya, ambil lagi satu titik dengan menentukan sembarang nilai ( x ) atau ( y ) (asalkan bukan ( x = 0 ) atau ( y = 0 ) sebab sudah dipakai sebelumnya), misal ( x = 4 ), maka diperoleh nilai ( y = 2 ). Berarti titik kedua adalah (4,2). Selanjutnya, tarik sebuah garis lurus yang melewati kedua titik tersebut. Panjang garis tak terbatas yang penting melewati kedua titik tadi.

Contoh 1.2

Buatlah grafik dari fungsi ( 3y – 2x = 6 )

Penyelesaian

Ubah persamaan menjadi bentuk:
[ y = \frac{2x}{3} + 2 ]

Diperoleh nilai ( c = 2 ), artinya garis akan memotong sumbu-y di ( y = 2 ) (titik ( (0,2) )). Selanjutnya, ambil lagi satu titik dengan menentukan sembarang nilai ( x ) atau ( y ) (asalkan bukan ( x = 0 ) atau ( y = 2 ) sebab sudah dipakai sebelumnya), misalnya ( y = 0 ), maka diperoleh nilai ( x = -3 ). Berarti titik kedua adalah ( (-3,0) ). Selanjutnya, tarik sebuah garis lurus yang melewati kedua titik tersebut.

Mencari Persamaan Garis

Contoh 1.3

Carilah Persamaan Garis Lurus dari Grafik Berikut

Gambar grafik dengan titik (0,2) dan (4,0)

Penyelesaian:

Dari gambar tersebut terlihat bahwa grafik memotong sumbu y di titik ( y = 2 ), ini berarti nilai ( c = 2 ). Dengan demikian persamaan garis menjadi:
[ y = mx + 2 ]

BACA JUGA  Mengenal Piping Engineering (Tugas dan Produk)

Gunakan titik ( (4,0) ) untuk mendapatkan nilai ( m ):
[ 0 = 4m + 2 \Rightarrow m = -\frac{1}{2} ]

Diperoleh persamaan garis:
[ y = -\frac{x}{2} + 2 \Rightarrow 2y + x = 4 ]

Nilai ( m ) dapat pula diperoleh dengan menggunakan persamaan gradien:
[ m = \frac{0 - 2}{4 - 0} = -\frac{1}{2} ]

Contoh 1.4

Carilah persamaan garis lurus dari grafik berikut:

Pada gambar tersebut, kita memiliki dua titik:

  • Titik A (1, 2)
  • Titik B (6, 4)

Penyelesaian

Dalam kasus ini, kita tidak tahu koordinat di mana garis memotong sumbu y. Oleh karena itu, kita menggunakan metode mencari gradien ( m ):
[ m = \frac{4 - 2}{6 - 1} = \frac{2}{5} ]

Dengan demikian, persamaan sementara menjadi:
[ y = \frac{2}{5}x + c ]

Baik, berikut adalah versi yang lebih rapi untuk materi dalam gambar yang dapat Anda unggah ke WordPress:

Penyelesaian Persamaan Linear dan Grafik Garis Lurus

Melanjutkan dari Contoh 1.4:

Dengan mengambil salah satu titik yang telah diketahui, misalnya titik ( A(1,2) ), maka diperoleh persamaan garis lurus:
[ 2 = \frac{2}{5}(1) + c \Rightarrow c = \frac{8}{5} ]

Akhirnya diperoleh persamaan garisnya:
[ y = \frac{2}{5}x + \frac{8}{5} ]

Kalikan kedua ruas dengan 5 sehingga diperoleh:
[ 5y – 2x = 8 ]

Silakan coba sendiri apa hasilnya jika menggunakan titik B (6,4).

Menyelesaikan Persamaan Linear (Satu Variabel)

Contoh 1.5

Cari nilai x yang memenuhi persamaan ( 2x – 10 = 3x – 8 ).

Penyelesaian:

[ 2x - 10 = 3x - 8 ]
[ 2x - 3x = -8 + 10 ]
[ -x = 2 \Rightarrow x = -2 ]

Jika ( x = -2 ) disubstitusikan ke persamaan akan diperoleh:
[ 2(-2) - 10 = 3(-2) - 8 ]
[ -4 - 10 = -6 - 8 ]
[ -14 = -14 \Rightarrow \text{benar} ]

Penyelesaian Persamaan Linear

Contoh 1.5 (lanjutan)

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka nilai ( x = -2 ) disebut penyelesaian dari persamaan ( 2x – 10 = 3x – 8 ).

Jika ( x = 1 ); substitusikan ke persamaan diperoleh:
[ 2(1) – 10 = 3(1) – 8 ]
[ 2 – 10 = 3 – 8 ]
[ -8 = -5 ]
Ini menunjukkan bahwa nilai ( x = 1 ) bukanlah penyelesaian dari persamaan ( 2x – 10 = 3x – 8 ).

Contoh 1.6

Jumlah uang Mira (\frac{2}{3}) kali lebih banyak dari uang Ana. Jika jumlah uang Mira Rp. 150.000, maka berapakah jumlah uang Ana?

Penyelesaian:

Misal: jumlah uang Ana = ( x )
Jumlah uang Mira = ( y = 150.000 )
Model matematikanya:
[ y = x + \frac{2x}{3} = \frac{5x}{3} ]
[ 150.000 = \frac{5x}{3} ]
[ x = 90.000 ] rupiah

Tinggalkan komentar