PERSAMAAN KUADRAT

Memfaktorkan Persamaan

Bentuk dasar persamaan kuadrat:

$ax^2 + bx + c = 0<a href="3.1">$

Persamaan $ax^2 + bx + c = 0$

jika difaktorkan menjadi:

Cari dua bilangan
Jika kedua bilangan itu dikalikan hasilnya $a \cdot c$
Jika keduanya dijumlahkan hasilnya $b$

Contoh: 3.1

Faktorkan persamaan kuadrat $2x^2 - 5x - 3 = 0$

Penyelesaian:
Jika persamaan tersebut akan difaktorkan maka carilah dua bilangan

Jika kedua bilangan itu dikalikan hasilnya $2 \cdot (-3) = -6$
Jika keduanya dijumlahkan hasilnya $-5$

Kedua bilangan tersebut adalah $-6$ dan $1$ . Persamaan selanjutnya diuraikan sebagai berikut:
$2x^2 - 5x - 3 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 6x + x - 3 = 0$
$2x (x - 3) + (x - 3) = 0$

$(2x + 1)(x - 3) = 0$

Dengan demikian persamaan $2x^2 - 5x - 3 = 0$ dapat difaktorkan menjadi:

$(2x - 1)(x - 3) = 0$

Contoh: 3.2

Faktorkan persamaan $3x^2 - 11x - 4 = 0$

Penyelesaian:

Jika persamaan tersebut akan difaktorkan maka carilah dua bilangan

Jika kedua bilangan itu dikalikan hasilnya $3 \times (-4) = -12$
Jika keduanya dijumlahkan hasilnya $-11$

Kedua bilangan tersebut adalah $-12$ dan $1$ . Persamaan selanjutnya diuraikan sebagai berikut:
$3x^2 - 11x - 4 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 12x + x - 4 = 0$
$3x (x - 4) + (x - 4) = 0$

$(3x + 1)(x - 4) = 0$

Dengan demikian persamaan $3x^2 - 11x - 4 = 0$ dapat difaktorkan menjadi:

$(3x + 1)(x - 4) = 0$

Melengkapi Kuadrat Sempurna

Bentuk-bentuk seperti $x^2 = 4$ , $(x + 3)^2 = 9$ dan $(x - 1)^2 = 7$ disebut kuadrat sempurna. Sebab untuk mencari akar-akar persamaan kuadratnya cukup langsung mengakarkan kedua sisi bentuk tersebut. Namun dalam banyak kasus, soal-soal tidak dalam bentuk kuadrat sempurna. Karena itu harus dilakukan modifikasi sehingga diperoleh bentuk kuadrat sempurna.

Syarat untuk melengkapi kuadrat menjadi kuadrat sempurna adalah konstanta di depan $x^2$ harus 1. Karena itu persamaan (3.1) harus dibagi $a$ , diperoleh:

$\frac{x^2}{a} + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$

3.3 Melengkapi Kuadrat Sempurna

Bentuk dasar untuk melengkapi kuadrat:
$x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{1}{2} \frac{b}{a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{1}{2} \frac{b}{a} \right)^2$

$\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2$

$\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$

$\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

Contoh: 3.3

Ubah persamaan $2x^2 + 5x = 3$ menjadi kuadrat sempurna.

Penyelesaian:

Ubah persamaan sehingga konstanta di depan $x^2$ menjadi 1. Ini berarti persamaan harus dibagi 2. Diperoleh:

$x^2 + \frac{5}{2}x = \frac{3}{2}$

Tambahkan kedua sisi persamaan dengan setengah koefisien $x$ lalu dikuadratkan. Dalam hal ini:

$\left( \frac{1}{2} \frac{5}{2} \right)^2 = \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16}$

$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = \frac{3}{2} + \frac{25}{16}$

$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = \frac{24}{16} + \frac{25}{16}$

$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = \frac{49}{16}$

Selanjutnya selesaikan kedua sisi:

$\left( x + \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{49}{16}$

$x + \frac{5}{4} = \pm \frac{7}{4}$

$x = -\frac{5}{4} \pm \frac{7}{4}$

$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x = -\frac{12}{4} = -3$

Berikut adalah teks yang telah diketik ulang menggunakan format

Untuk kasus soal di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara difaktorkan. Jika disusun kembali persamaan tersebut menjadi $2x^2 + 5x - 3 = 0$

. Untuk memfaktorkan maka cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya -6 dan jika dijumlahkan hasilnya 5. Angka tersebut adalah 6 dan -1.

$2x^2 + 6x - x - 3 = 0$

$2x(x + 3) - (x + 3) = 0$

$(2x - 1)(x + 3) = 0$

Jadi persamaan $2x^2 + 5x - 3$ jika difaktorkan menjadi $(2x - 1)(x + 3) = 0$ .

Catatan:

Bentuk $\left( x + \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{49}{16}$ dan $(2x - 1)(x + 3) = 0$ terlihat sangat berbeda. Namun dapat dipastikan bahwa kedua persamaan tersebut sama saja. Silahkan buktikan sendiri!!!

Mencari Persamaan Kuadrat Dari Akar yang Diketahui

Sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ maka persamaan kuadrat tersebut adalah:

$(x - \alpha)(x - \beta) = 0$

Atau jika 3.2 diuraikan:

$(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$

Berikut adalah teks yang telah diketik ulang menggunakan format

Contoh: 3.4

Akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat adalah $\frac{1}{3}$

dan $-2$ . Tentukan persamaan kuadratnya.

Penyelesaian:

Bila menggunakan 3.2 persamaan kuadratnya berbentuk:

$(x - \frac{1}{3})(x - (-2)) = 0$

$(x - \frac{1}{3})(x + 2) = 0$

$x^2 + \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0$
$\quad \Rightarrow$ Kalikan dengan 3

$3x^2 + 5x - 2 = 0$

Bila menggunakan 3.3 diperoleh:

$x^2 - (\frac{1}{3} + (-2))x + \frac{1}{3}(-2) = 0$

$x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0$
$\quad \Rightarrow$ Kalikan dengan 3

$3x^2 + 5x - 2 = 0$

Dengan demikian, menggunakan persamaan 3.3, pekerjaan lebih sederhana.

3.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ , dengan $a, b, c \in \mathbb{R}$ dan $a \neq 0$ . Menyelesaikan persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ berarti mencari nilai $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar (root) atau penyelesaian dari persamaan kuadrat.

Menggunakan Rumus abc (Rumus Kuadrat)

Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat dicari akar-akarnya dengan terlebih dulu melengkapi kuadratnya. Nilai $a, b$ dan $c$ adalah koefisien persamaan yang merupakan bilangan ril, baik positif maupun negatif.

$ax^2 + bx + c = 0$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Contoh : 3.5

Dengan menggunakan rumus abc, carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut:

a. $x^2 - x - 6 = 0$

b. $3x^2 + 4x - 4 = 0$

Penyelesaian:

a. Dari soal diperoleh $a = 1, b = -1$ dan $c = -6$

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$

b. Dari soal diperoleh $a = 3, b = 4$ , dan $c = -4$

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)}$ $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 8}{6}$ $x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{2}{3}$ $x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = -2$

Akar-akar persamaan tersebut adalah $x = \frac{2}{3}$ dan $x = -2$ .

Memfaktorkan

Contoh : 3.6

Dengan cara memfaktorkan, carilah akar-akar persamaan $x^2 - x - 6 = 0$ .

Penyelesaian:

Faktorkan dulu persamaannya:

$x^2 - x - 6 = 0$ $(x - 3)(x + 2) = 0$

Persamaan terakhir ini hanya akan benar jika dan hanya jika:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

dan

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Diperoleh akar-akar persamaan $x = 3$ dan $x = -2$ .

Melengkapi kuadrat sempurna

Contoh: 3.7

Dengan cara melengkapi kuadrat sempurna, carilah akar-akar persamaan $3x^2 + 4x - 4 = 0$

Penyelesaian:

Bagi persamaan $3x^2 + 4x - 4 = 0$ dengan 3 agar koefisien $x^2$ menjadi 1.

$x^2 + \frac{4x}{3} - \frac{4}{3} = 0 \quad \Rightarrow \text{Pindahkan konstanta } \frac{4}{3} \text{ ke kanan.}$ $x^2 + \frac{4x}{3} = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \text{Tambahkan kedua ruas dengan } \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\right)^2$ $x^2 + \frac{4x}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\right)^2$ $x^2 + \frac{4x}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2$ $\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$ $x + \frac{2}{3} = \pm \sqrt{\frac{16}{9}}$ $x + \frac{2}{3} = \pm \frac{4}{3}$ $x = -\frac{2}{3} \pm \frac{4}{3} \quad \Rightarrow x_1 = -\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ $x_2 = -\frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{6}{3} = -2$

Akar-akar persamaan adalah $x = \frac{2}{3}$ dan $x = -2$

Diskriminan

Dari rumus abc seperti yang ada pada persamaan 3.4 dapat ditulis dalam:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Dimana $D$ disebut diskriminan yang besarnya: $D = b^2 - 4ac$ (3.5)

Nilai diskriminan ( $D$ ) dapat menunjukkan jenis akar persamaan kuadrat. Jenis akar dibedakan atas dua macam yaitu real dan tidak real.

Jika $D \geq 0 \Rightarrow$ akar real Jika $D > 0 \Rightarrow$ dua akar real yang berbeda Jika $D = 0 \Rightarrow$ akar kembar atau dua akar real yang sama Jika $D < 0 \Rightarrow$ akar tidak real atau bilangan kompleks

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut. Diketahui bahwa $D = b^2 - 4ac$ , maka jika:

$a > 0$ ; parabola terbuka ke atas (concave up)
$a < 0$ ; parabola terbuka ke bawah (concave down)
$D < 0$ ; parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x
$D = 0$ ; parabola menyinggung sumbu x
$D > 0$ ; parabola memotong sumbu x di dua titik

Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ adalah sebagai berikut:

Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika $y = 0$
Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika $x = 0$
Menentukan persamaan sumbu simetri $x = -\frac{b}{2a}$
Menentukan nilai ekstrim grafik $y = -\frac{D}{4a}$
Menentukan koordinat titik balik $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)$

Contoh: 3.8

Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat $y = x^2 + 4x$

Penyelesaian:

a. Titik potong dengan sumbu x, jika $y = 0$

$x^2 + 4x = 0$ $x(x + 4) = 0$

$x = 0$ atau $(x + 4) = 0 \Rightarrow x = -4$

Jadi memotong sumbu x di titik (0, 0) dan (-4, 0)

b. Titik potong dengan sumbu y, jika $x = 0$

maka,

$y = 0^2 + 4 \cdot 0 \Rightarrow y = 0$

Jadi memotong sumbu y di titik (0, 0)

c. Persamaan sumbu simetri:

$x = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$

Jadi, persamaan sumbu simetrinya $x = -2$ .

d. Nilai Ekstrim/Nilai Stasioner untuk $x = -2$ :

$y = (-2)^2 + 4(-2) = -4$

e. Koordinat titik balik:

$(-2, -4)$

Kombinasi Persamaan Linear Dengan Kuadrat

Contoh: 3.9

Carilah penyelesaian dari persamaan $y = x^2$ dan $y = x + 6$

Penyelesaian:

Dengan metode substitusi:

$x^2 = x + 6$ $x^2 - x - 6 = 0$ $(x - 3)(x + 2) = 0 \Rightarrow \text{Diperoleh } x = 3 \text{ dan } x = -2.$

Dengan grafik terlihat sebagai berikut:

Mencari Persamaan Kuadrat Dari Grafik

Ini kebalikan dari menggambar grafik persamaan. Persamaan

$y = ax^2 + bx + c$

mempunyai tiga konstanta; $a$ , $b$ , dan $c$ . Karena itu dibutuhkan tiga titik untuk mendapatkan persamaannya. Langkah-langkah yang dilakukan adalah:

Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika $y = 0$ . Titik ini digunakan untuk mencari nilai c.
Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika $x = 0$ .
Menentukan persamaan sumbu simetri $x = -\frac{b}{2a}$ .
Menentukan nilai ekstrim grafik $y = \frac{D}{4a} = \frac{b^2 - 4ac}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$ .
Nilai c adalah nilai y pada saat $x = 0$ (kurva memotong sumbu-y).

Meskipun langkah ini kelihatannya ada empat, tetapi pada aplikasinya cukup dipilih yang dibutuhkan saja atau yang tersedia di gambar.

Contoh: 3.10

Carilah persamaan kuadrat dari grafik berikut.

Penyelesaian:

Terdapat tiga buah titik yang diketahui yaitu dua titik potong dengan sumbu x dan satu titik balik. Pada titik balik diketahui dua hal yaitu sumbu simetri -2 dan nilai ekstrim -4.

Dari sumbu simetri ( x = -2 = \frac{-b}{2a} ) $\Rightarrow b = 4a \quad \text{(1)}$

Dari titik potong dengan sumbu y (0,0) dan (4,0) hanya akan dipakai salah satunya saja. Begitu nilai c telah diperoleh maka titik yang satunya lagi tak perlu digunakan. Substitusikan ke persamaan ( y = ax^2 + bx + c ). Telah diperoleh bahwa b = 4a sehingga persamaan kuadrat kini menjadi:

$y = ax^2 + 4ax + c$

Titik (0,0) : x = 0 dan y = 0

$0 = 0 - 0 + c \Rightarrow c = 0 \quad \text{(2)}$

Persamaan kuadrat kini menjadi:

$y = ax^2 + 4ax$

Dari titik titik ekstrim y = 4 $\Rightarrow y = \frac{4ac - b^2}{4a}$ . Karena b = 4a dan c = 0 maka

persamaan titik ekstrim menjadi $y = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4a(0) - (4a)^2}{4a} = \frac{-16a^2}{4a} = -4a$

$4 = -4a \Rightarrow a = -1 \quad \text{(3)}$

Substitusikan (3) ke (1) diperoleh:

$b = 4.(-1) = -4 \quad \text{(4)}$

Kini semua konstanta persamaan telah diperoleh yaitu:

$a = -1, \quad b = -4 \quad \text{dan} \quad c = 0$

Persamaan Lingkaran

Ada tiga bentuk persamaan lingkaran:

Bentuk umum: $ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0$
Bentuk standard: $(x - x_o)^2 + (y - y_o)^2 = r^2$ Dengan pusat lingkaran $(x_o, y_o)$ dan jari-jari $r$ .
Bentuk transformasi: $\left(\frac{x - x_o}{r}\right)^2 + \left(\frac{y - y_o}{r}\right)^2 = 1$ Dengan pusat lingkaran $(x_o, y_o)$ dan jari-jari $r$ .

Contoh: 3.11

Buat grafik persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ .

Penyelesaian:

Mula-mula ubah ke bentuk standard:

$x2+y2=52x^2 + y^2 = 5^2$

Ini berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 5. Grafik ditunjukkan oleh gambar berikut.

Persamaan Ellips

Bentuk dasar dari persamaan ellips yang berpusat di (p, q) dengan panjang sumbu mayor 2a dan panjang sumbu minor 2b, dimana a>ba > b, adalah:

Jika sumbu mayor horisontal

$[ \frac{(x - p)2}{a2} + \frac{(y - q)2}{b2} = 1 \]$

Keterangan:

Vertex (V) = titik potong antara sumbu mayor dengan ellips
a = jarak dari pusat ke vertex pada sumbu mayor
b = jarak dari pusat ke ellips pada sumbu minor
c = jarak dari pusat ke fokus (F) dan terletak di sumbu mayor. Panjangnya

Jika sumbu mayor vertikal

$\frac{(x - p)2}{b2} + \frac{(y - q)2}{a2} = 1$

Jika sebuah ellips berpusat di (0,0) dengan persamaan

$\frac{x2}{a2} + \frac{y2}{b2} = 1$

kemudian digeser ke posisi dengan pusat (p, q) dengan persamaan

$\frac{(x - p)2}{a2} + \frac{(y - q)2}{b2} = 1$

maka perpindahan tersebut ditunjukkan pada gambar di bawah. Dalam arah x, ellips berpindah sejauh $p$ satuan ke kanan, sementara dalam arah y, ellips berpindah sejauh $q$ satuan ke atas.

Contoh: 3.13

Tentukan vortex dan fokus dari ellips $4x^2 + y^2 = 16$ .

Penyelesaian:

Mula-mula ubah ke bentuk standard. Agar bagian di kanan menjadi 1, semuanya dibagi dengan 16

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$

$\frac{x2}{22} + \frac{y2}{42} = 1$

Dengan demikian ellips berpusat di titik (0,0) dengan $a = 4$ , $b = 2$ dan $c = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3} \approx 3.4$ . Nilai $a$ harus selalu lebih besar dari nilai $b$ agar nilai $c$ selalu ada. Karena $a$ berada di bawah variabel $y$ , berarti sumbu mayor berada pada sumbu- $y$ . Sumbu mayornya vertikal.