Penjelasan Tentang Determinan Matriks (Matematika Teknik)

Topic Content

1 Determinan Matriks
2 Determinan Matriks 2×2
- - 2.0.1 Contoh 5.1
- 2.1 Determinan Matriks 3×3
3 Determinan Matriks Orde 3×3 atau Lebih
- 3.1 Minor
- 3.2 Contoh 5.3
4
- 4.1 Menyukai ini:

Determinan Matriks

Determinan dari matriks A dinotasikan dengan |A|. Determinan akan sangat berguna ketika menyelesaikan sistem persamaan linear, khususnya yang variabelnya lebih dari 3.

Determinan Matriks 2×2

Misalkan
[ $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ ]

maka determinannya adalah
[ $|A| = ad - bc$ ]

Contoh 5.1

Determinan matriks
[ $A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \ 3 & -5 \end{pmatrix}$ ]

adalah
[ $|A| = 2 \times (-5) - 3 \times 7 = -10 - 21 = -31$ ]

Determinan Matriks 3×3

Misalkan ( A = \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} ) maka determinannya diselesaikan dengan metode Sarrus. Caranya susun kembali ketiga kolom tersebut, kemudian tambahkan dua kolom pertama.

[ $|A| = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi$ ]

Contoh 5.2

Cari determinan matriks ( A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \ 1 & 5 & -6 \ -3 & 4 & 1 \end{pmatrix} )

Penyelesaian:
Dengan metode Sarrus

[ $|A| = 2 \cdot 5 \cdot 1 + (-2) \cdot (-6) \cdot (-3) + 4 \cdot 1 \cdot 4 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) \cdot 4 - (-2) \cdot 1 \cdot 1$ ]

[ $= 10 - 36 + 16 - 60 + 48 + 2 = -20$ ]

Determinan Matriks Orde 3×3 atau Lebih

Metode untuk menghitung determinan yang telah dibahas hanya dapat diterapkan pada matriks sampai tiga dimensi (orde 3×3) dan tidak dapat diterapkan pada matriks berdimensi lebih tinggi. Untuk menghitung determinan dari matriks berdimensi lebih tinggi, akan diperkenalkan minor dan kofaktor yang akan menjadi kunci dalam menghitung determinan dari matriks yang bersangkutan.

Minor

Minor adalah determinan dari matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom tertentu dari matriks yang bersangkutan. Minor dinotasikan dengan $M_{ij}$ , dimana $i$ menyatakan baris dan $j$ menyatakan kolom yang dihilangkan. Misalnya $M_{12}$ berarti determinan yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks yang bersangkutan.

Berikut adalah ketik ulang dari gambar yang Anda berikan, lengkap dengan rumus menggunakan kode LaTeX untuk diupload di WordPress:

Contoh 5.3

Cari semua minor dari matriks ( A ):

[ $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \ 1 & 5 & -6 \ -3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ ]

Penyelesaian

[ $M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & -6 \ 4 & 1 \end{vmatrix} = 5(1) - 4(-6) = 5 + 24 = 29$ ]

[ $M_{12} = \begin{vmatrix} 1 & -6 \ -3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - (-3)(-6) = 1 - 18 = -17$ ]

[ $M_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 5 \ -3 & 4 \end{vmatrix} = 1(4) - (-3)(5) = 4 + 15 = 19$ ]

[ $M_{21} = \begin{vmatrix} -2 & 4 \ 4 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(1) - (4)(4) = -2 - 16 = -18$ ]

[ $M_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 4 \ -3 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (-3)(4) = 2 + 12 = 14$ ]

[ $M_{23} = \begin{vmatrix} 2 & -2 \ -3 & 4 \end{vmatrix} = (2)(4) - (-3)(-2) = 8 - 6 = 2$ ]

[ $M_{31} = \begin{vmatrix} -2 & 4 \ 5 & -6 \end{vmatrix} = (-2)(-6) - (5)(4) = 12 - 20 = -8$ ]

[ $M_{32} = \begin{vmatrix} 2 & 4 \ 1 & -6 \end{vmatrix} = (2)(-6) - (1)(4) = -12 - 4 = -16$ ]

[ $M_{33} = \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 1 & 5 \end{vmatrix} = (2)(5) - (1)(-2) = 10 + 2 = 12$ ]

DENI SAPUTRA

selamat membaca…