Topic Content

1 PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN

Cara penulisan

Suatu pertidaksamaan ditandai dengan adanya tanda (>, ≥, <, ≤) di antara persamaannya. Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang mengandung variabel sehingga belum diketahui kepastian benar atau salahnya.
< lebih kecil dari
≤ lebih kecil atau sama dengan
≥ lebih besar atau sama dengan
> lebih besar dari

Tabel 1. Cara penulisan jangkauan/interval sebuah pertidaksamaan

Sifat-Sifat Umum Pertidaksamaan

Beberapa sifat umum pertidaksamaan adalah sebagai berikut:

1.Jika $a \in R$ maka $a^2 \geq 0$

2.Apabila $a, b$ dan $c \in R$ :

Jika $a < b$ dan $b < c$ , maka $a < c$
Jika $a > b$ dan $b > c$ , maka $a > c$

3. Apabila $a, b$ dan $c \in R$ :

Jika $a < b$ maka $a + c < b + c$
Jika $a > b$ maka $a + c > b + c$

4.Apabila $a, b$ dan $c \in R$ :

Jika maka
- $a < b$ berlaku $ac < bc$
- $a > b$ berlaku $ac > bc$
Jika $c < 0$ maka $a < b$

berlaku $ac > bc$ $a > b$

5. Jika $a \in R$ maka:

Untuk $a > 0$ berlaku $\frac{1}{a} > 0$
Untuk $a < 0$ berlaku $\frac{1}{a} < 0$

Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dimana persamaan baik di kiri maupun di kanan tanda pertidaksamaan merupakan fungsi linear.

Sifat-Sifat Umum Pertidaksamaan Linear

Pada dasarnya sifat pertidaksamaan sama saja dengan persamaan kecuali ketika mengalikan suatu pertidaksamaan dengan bilangan negatif.

a. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap. Hal ini sama dengan sifat 3

b. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.

c. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan dibalik.

Penyelesaian Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan dengan satu tanda ketidaksamaan
Contoh 4.1 Penggunaan dari masing-masing sifat pertidaksamaan.

Contoh sifat a:
Tentukan nilai x dari:
1). $x + 2 < 7$

2). $x - 1 \leq 6$

Jawab:
1). $x + 2 < 7 \rightarrow x + 2 - 2 < 7 - 2 \rightarrow x < 5$
2). $x - 1 \leq 6 \rightarrow x - 1 + 1 \leq 6 + 1 \rightarrow x \leq 7$

Contoh sifat b:
Tentukan nilai x dari:
1). $\frac{x}{3} \geq 5$
2). $2x \geq 10$

Jawab:
1). $\frac{x}{3} \geq 5 \rightarrow \frac{x}{3} \cdot 3 \geq 5 \cdot 3 \rightarrow x \geq 15$
2). $2x \geq 10 \rightarrow \frac{2x}{2} \geq \frac{10}{2} \rightarrow x \geq 5$

Contoh sifat c:
Tentukan nilai x dari -4x < 12

Jawab:

$-4x<12\rightarrow\frac{-4x}{-4}>\frac{12}{-4}\rightarrow x>-3-4x<12[/latex] <h2><strong>Pertidaksamaan dengan dua tanda ketidaksamaan</strong></h2> <p><strong>Contoh 4.2</strong> Tentukan penyelesaian dari<br /> [latex]-2 \leq 4x - 2 < 4$

.
Penyelesaian:
$-2 \leq 4x - 2 < 4$
Tambahkan 2 pada ketiga ruas:
$(-2 + 2) \leq (4x - 2 + 2) < (4 + 2)$
$0 \leq 4x < 6$
Bagi ketiga ruas dengan 4:
$\frac{0}{4} \leq \frac{4x}{4} < \frac{6}{4}$

$0 \leq x < \frac{3}{2}$

Contoh 4.3 Tentukan penyelesaian dari $2x - 3 \leq 5x + 6 < x + 10$ .

Penyelesaian:
Soal ini tidak bisa diselesaikan seperti contoh 4.2 karena variabel x berada di ketiga posisi pertidaksamaan. Bandingkan dengan contoh 4.2 dimana variabel x hanya berada di tengah pertidaksamaan.
Pertidaksamaan tersebut perlu dipecah menjadi dua bagian. Selanjutnya kedua bagian itu diselesaikan secara terpisah.

Penyelesaian dari $2x - 3 \leq 5x + 6$ . Kedua ruas kurangi dengan 5x.
$2x - 3 - 5x \leq 5x + 6 - 5x$
$-3x - 3 \leq 6$
Kedua ruas tambahkan dengan 3.
$-3x - 3 + 3 \leq 6 + 3$
$-3x \leq 9$
Kedua ruas bagi dengan -3.
$x \geq -3$
Perhatikan bahwa tanda $\leq$ diubah menjadi $\geq$ .

Penyelesaian dari

$5x + 6 < x + 10$

. Kedua ruas kurangi dengan x.
$5x + 6 - x < x + 10 - x$
$4x + 6 < 10$
Kedua ruas kurangkan dengan 6.
$4x + 6 - 6 < 10 - 6$
$4x < 4$
Kedua ruas bagi dengan 4.
$x < 1$
Perhatikan bahwa di sini tak ada perubahan tanda.

Gabungkan kedua penyelesaian tersebut diperoleh

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah persamaan dimana pangkat tertinggi dari persamaannya adalah pangkat dua.

Contoh 4.4 Tentukan penyelesaian dari $x^2 - 2x - 3 \leq 0$ .

Penyelesaian: Untuk memudahkan penyelesaian, tanda pertidaksamaan diganti dengan tanda sama dengan. Jadi $x^2 - 2x - 3 \leq 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$ . Selanjutnya persamaan diselesaikan.

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$\Rightarrow x = 3 \text{ dan } x = -1$

Untuk menentukan daerah penyelesaian dari $x^2 - 2x - 3 \leq 0$ , uji tanda dari setiap interval antara titik-titik nol (-1 dan 3). Pilih nilai uji di setiap interval dan substitusikan ke pertidaksamaan:

Uji dengan $x = 0$ yang berada di antara -1 dan 3:

$x^2 - 2x - 3 \leq 0$

latex^2 - 2(0) - 3 \leq 0[/latex]

$-3 \leq 0$

Benar. Ini berarti bahwa daerah penyelesaian $x^2 - 2x - 3 \leq 0$ adalah $-1 \leq x \leq 3$ .

Pertidaksamaan Rasional (Bentuk Pecahan)

Beberapa sifat penting pertidaksamaan rasional (bentuk pecahan): a) Bila $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ maka $f(x) \cdot g(x) \geq 0$ , $g(x) \neq 0$ b) Bila $\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0$ maka $f(x) \cdot g(x) \leq 0$ , $g(x) \neq 0$

Contoh 4.5 Tentukan penyelesaian dari $\frac{x + 1}{2 - x} \leq 2$ .

Penyelesaian: Kalikan kedua ruas dengan $2 - x$ , lalu selesaikan

$x + 1 \leq 2(2 - x)$

$x + 1 \leq 4 - 2x$

$x + 2x \leq 4 - 1$

$3x \leq 3$ $x \leq 1$

Syarat tambahan, nilai penyebut tak boleh nol. $2 - x \neq 0 \text{ atau } x \neq 2$

Uji untuk $x = 0$ (di luar segmen) $\frac{1}{2} \leq 2$ (BENAR)

Diperoleh penyelesaian $x \leq 1 \text{ atau } x \neq 2$

Contoh 4.6

Tentukan penyelesaian dari $\frac{x+1}{x+2} \leq \frac{x-3}{x-4}$

Penyelesaian:
Kumpulkan semua variabel di sebelah kiri sehingga di kanan tersisa nol, samakan penyebutnya lalu sederhanakan.
$\frac{x+1}{x+2} - \frac{x-3}{x-4} \leq 0$
$\frac{(x+1)(x-4) - (x-3)(x+2)}{(x+2)(x-4)} \leq 0$
$\frac{(x^2 - 3x - 4) - (x^2 - x - 6)}{(x+2)(x-4)} \leq 0$

$\frac{-2x + 2}{(x+2)(x-4)} \leq 0 \quad$

Pembuat nol pada pembilang

$-2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

Syarat tambahan, nilai penyebut tak boleh nol.
$x + 2 \neq 0 \quad \text{atau} \quad x \neq -2$
$\text{dan}$

$x - 4 \neq 0 \quad \text{atau} \quad x \neq 4$

Uji ketiga titik ( $x = 1, x \neq -2$ dan $x \neq 4$ ) tersebut dengan bantuan persamaan (a), lalu tandai daerah jawabannya pada garis bilangan.

Misalkan $x = -3$ (daerah di sebelah kiri -2), dari persamaan (a)
$\frac{-2(-3) + 2}{(-3 + 2)(-3 - 4)} \leq 0$
$\frac{8}{7} \leq 0 \quad \text{Salah!!!}$
Dengan demikian daerah di sebelah kiri -2 BUKAN wilayah penyelesaian.

Misalkan $x = 0$ (daerah antara -2 dan 1), dari persamaan (a)
$\frac{-2(0) + 2}{(0 + 2)(0 - 4)} \leq 0$
$\frac{2}{(2)(-4)} \leq 0 \quad \frac{1}{-4} \leq 0 \quad \text{Benar!!!}$
Dengan demikian daerah -2 < x \leq 1 adalah wilayah penyelesaian.

Perhatikan bahwa syarat tambahan $x \neq -2$ karena itu $x = -2$ tidak termasuk penyelesaian, tetapi $x = 1$ termasuk penyelesaian.

Misalkan $x = 2$ (daerah antara 1 dan 4), dari persamaan (a)
$\frac{-2(2) + 2}{(2 + 2)(2 - 4)} \leq 0$
$\frac{-4 + 2}{(4)(-2)} \leq 0 \quad \frac{-2}{-8} \leq 0 \quad \frac{1}{4} \leq 0 \quad \text{Salah!!!}$
Dengan demikian 1 < x < 4 BUKAN wilayah penyelesaian.

Misalkan $x = 5$ (daerah di sebelah kanan 4), dari persamaan (a)
$\frac{-2(5) + 2}{(5 + 2)(5 - 4)} \leq 0$
$\frac{-10 + 2}{(7)(1)} \leq 0 \quad \frac{-8}{7} \leq 0 \quad \text{Benar!!!}$
Dengan demikian $x \geq 4$ adalah wilayah penyelesaian.

Kesimpulan:

Penyelesaian dari $\frac{x+1}{x+2} \leq \frac{x-3}{x-4}$ adalah

$-a<f(x)<a-2<x\leq 1[/latex] <p>atau [latex]x > 4$

Pertidaksamaan Irrasional (Bentuk Akar)

Beberapa sifat penting pertidaksamaan irrasional (bentuk akar):
a) Jika kedua ruas dikuadratkan, tidak akan merubah nilainya. Misal $\sqrt{y} < x$

maka $y^2 < x$ .
b) Syarat tambahan diperlukan yaitu nilai di bawah tanda akar tidak boleh negatif. Misal pertidaksamaan $\sqrt{x} \leq 5$ , syarat tambahannya adalah $x \geq 0$ .
c) Interseksi dari jawaban a dan b merupakan solusi akhir dari pertidaksamaan irrasional.

Contoh 4.7 Tentukan penyelesaian dari $\sqrt{x-3} \leq 4$ .

Penyelesaian:
Mula-mula kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.

$x - 3 \leq 16 \Rightarrow x \leq 19$

Syarat tambahan, nilai di bawah tanda akar tidak boleh negatif.

$x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$

Interseksi dari $x \leq 19$ dan $x \geq 3$ merupakan solusi dari $\sqrt{x-3} \leq 4$ , yaitu:

$3 \leq x \leq 19$

Contoh 4.8 Tentukan penyelesaian dari $\sqrt{x^2 + 2x} > x + 3x + 6$ .

Penyelesaian:
Mula-mula kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$x^2 + 2x > 3x + 6$
$x^2 - x - 6 > 0$

$(x - 3)(x + 2) > 0 \Rightarrow x > 3 \text{ dan } x < -2$

Syarat tambahan, nilai di bawah tanda akar tidak boleh negatif.
$x^2 + 2x \geq 0$
$x(x + 2) \geq 0 \Rightarrow x \geq 0 \text{ dan } x \leq -2$
dan

$3x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$

Buat selang dari semua jawaban di atas kemudian tentukan interseksinya.

$x > 3$

Dari gambar diperoleh daerah penyelesaian adalah $x > 3$ .

Pertidaksamaan Mutlak

Definisi nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak
a) Jika

$|f(x)|<a$

maka

$|f(x)|<a$ $-a<f(x)<a$

b) Jika $|f(x)| \leq a$ maka $-a \leq f(x) \leq a$ c) Jika $|f(x)| > a$ maka

$f(x) < -a[/latex] <p>ATAU [latex]f(x) > a$

$|f(x)| \geq a$

$f(x) \leq -a$

$f(x) \geq a$

$|a| = |-a|$

$|ab| = |a| |b|$

$|a + b| \leq |a| + |b|$

$|a - b| \geq ||a| - |b||$

$|f(x)| = \sqrt{(f(x))^2}$

Contoh 4.9 Tentukan penyelesaian dari $|x - 2| < 4$ .
Penyelesaian:
Dari sifat a nilai mutlak diperoleh:
$-4 < x - 2 < 4$
Tambahkan semua ruas dengan 2:
$-4 + 2 < x - 2 + 2 < 4 + 2$

$-2 < x < 6$

Contoh 4.10 Tentukan penyelesaian dari $|x - 8| \geq 4$ .
Penyelesaian:
Dari sifat a nilai mutlak diperoleh:
$x - 8 \leq -4$ ATAU $x - 8 \geq 4$
$x \leq 4$ ATAU $x \geq 12$

Contoh 4.11 Tentukan penyelesaian dari $|2x - 1| < |x - 2|$ .
Penyelesaian:
Dari sifat i nilai mutlak diperoleh:
$\sqrt{(2x - 1)^2} < \sqrt{(x - 2)^2}$
$(2x - 1)^2 < (x - 2)^2$
$(2x - 1)^2 - (x - 2)^2 < 0$
$(2x - 1 + x - 2)(2x - 1 - (x - 2)) < 0$
$(3x - 3)(x + 1) < 0$
$3(x - 1)(x + 1) < 0$
Diperoleh dua titik, $x = -1$ dan $x = 1$ . Lakukan uji garis bilangan untuk mendapatkan daerah penyelesaian.
Misalkan $x = 0$ (daerah di dalam interval -1 dan 1), masukkan ke:
$|2x - 1| < |x - 2|$
$|2(0) - 1| < |0 - 2|$
$|-1| < |-2|$
$1 < 2$ BENAR

Diperoleh penyelesaian akhir: $-1 < x < 1$

Berikut adalah teks ulang dari gambar yang Anda unggah, dengan rumus-rumus menggunakan kode

4.6 Pertidaksamaan Linear Simultan

Program linear lebih sering melibatkan pertidaksamaan linear dua variabel. Penyelesaiannya dinyatakan dengan daerah arsirian pada diagram Kartesian. Karena itu kemampuan menggambar grafik persamaan garis lurus sangat dibutuhkan.

Contoh 4.12
Tentukanlah daerah penyelesaian dari $3y - 2x \leq 6$

Penyelesaian:
Mula-mula ubah tanda ketaksamaan pada soal menjadi tanda sama dengan, selanjutnya buat grafik $3y - 2x = 6$ .

Gambar 4.1 Grafik dari fungsi $3y - 2x = 6$

Uji daerah penyelesaian. Misalkan titik uji adalah (0,0) yaitu daerah di bawah atau di sebelah kanan garis $3y - 2x = 6$ . Substitusikan ke pertidaksamaan:
$3(0) - 2(0) \leq 6$

$0 \leq 6 \Rightarrow BENAR$

Ini berarti daerah penyelesaian dari $3y - 2x \leq 6$ adalah di bawah atau di sebelah kanan garis, seperti yang ditunjukkan gambar 4.2. Garis harus kontinyu karena pertidaksamaan menggunakan "≤". Artinya titik di sepanjang garis masih termasuk penyelesaiannya.

Gambar 4.2 Daerah penyelesaian dari $3y - 2x \leq 6$

Contoh 4.13 Tentukanlah daerah penyelesaian dari $3y - 2x \leq 6$ ; $x \leq 0$ ; $y \geq 0$ Penyelesaian: Penyelesaiannya adalah daerah interseksi antara daerah $3y - 2x \leq 6$ , $x \leq 0$ dan $y \geq 0$

.Gambar 4.3 Daerah penyelesaian dari $3y - 2x \leq 6$ ; $x \leq 0$ ; $y \geq 0$

Contoh 4.14 Tentukanlah daerah penyelesaian dari $x + y \leq 4$ ; $x - 2y \leq 6$ ; $x \geq 0$ Penyelesaian: Penyelesaiannya adalah daerah interseksi antara daerah $x + y \leq 4$ , $x - 2y \leq 6$ dan $x \geq 0$ .

Contoh 4.15

Tentukanlah nilai maksimum dari $z = 4x + 5y$ yang memenuhi $x + y \leq 7$ ; $x + 2y \leq 10$ ; $x \geq 0$ dan $y \geq 0$

Penyelesaian:

Fungsi $z = 4x + 5y$ disebut fungsi sasaran (objective function), sementara semua pertidaksamaan lainnya disebut batasan (constraint).

Mula-mula gambarkan daerah penyelesaian dari $x + y \leq 7$ ; $x + 2y \leq 10$ ; $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ .

Garis $x + y = 7$ Garis $x + 2y = 10$

Contoh 4.15

Tentukanlah nilai maksimum dari $z = 4x + 5y$ yang memenuhi $x + y \leq 7$ ; $x + 2y \leq 10$ ; $x \geq 0$ dan $y \geq 0$

Penyelesaian:

Fungsi $z = 4x + 5y$ disebut fungsi sasaran (objective function), sementara semua pertidaksamaan lainnya disebut batasan (constraint).

Titik B adalah perpotongan antara garis $x + y = 7$ dengan garis $x + 2y = 10$ .

Dari $x + y = 7$ dengan mensubstitusi $y = 3$ diperoleh $x = 4$ .

Dengan demikian koordinat titik B adalah (4,3).

A. Uji Titik

Substitusikan nilai $x$ dan $y$ pada titik A, B dan C ke fungsi sasaran (objective function) $z = 4x + 5y$ .

Titik A (0,5)

→ $z=4(0)+5(5)=25\rightarrow z = 4(0) + 5(5) = 25$

Titik B (4,3)

→ $z=4(4)+5(3)=31\rightarrow z = 4(4) + 5(3) = 31$

Titik C (7,0)

→ $z=4(7)+5(0)=28\rightarrow z = 4(7) + 5(0) = 28$

Ternyata nilai maksimum adalah 31 dan diperoleh di titik B(4,3).

B. Uji Garis

Ubah fungsi sasaran $z = 4x + 5y$ menjadi $0 = 4x + 5y$ . Persamaan tersebut adalah garis yang melalui sumbu simetri. Gradiennya adalah

$5y=4x\rightarrow m=45$

$5y = -4x \rightarrow m = -\frac{4}{5}$

Gambarkan garis $0 = 4x + 5y$ . Kemudian tarik garis lurus dengan gradien $-\frac{4}{5}$ yang melewati titik A, B dan C. Garis dengan posisi terjauh dari pusat simetri atau dari titik (0,0) adalah posisi nilai maksimum.

Dari gambar terlihat bahwa garis yang melewati titik B adalah yang terjauh dari pusat simetri (titik (0,0)). Karena itu titik B memberikan nilai yang maksimum.

DENI SAPUTRA

selamat membaca…

Penjelasan Lengkap Pertidaksamaan (Matematika Teknik)

PERTIDAKSAMAAN

Cara penulisan

Sifat-Sifat Umum Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear

Sifat-Sifat Umum Pertidaksamaan Linear

Penyelesaian Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Rasional (Bentuk Pecahan)

Contoh 4.6

Pertidaksamaan Irrasional (Bentuk Akar)

Pertidaksamaan Mutlak

4.6 Pertidaksamaan Linear Simultan

Contoh 4.15

Contoh 4.15

Menyukai ini:

Tinggalkan komentar Batalkan balasan