PERSAMAAN KUADRAT

Memfaktorkan Persamaan

Bentuk dasar persamaan kuadrat:

Persamaan

jika difaktorkan menjadi:

• Cari dua bilangan
• Jika kedua bilangan itu dikalikan hasilnya
• Jika keduanya dijumlahkan hasilnya

Contoh: 3.1

Faktorkan persamaan kuadrat

Penyelesaian:
Jika persamaan tersebut akan difaktorkan maka carilah dua bilangan

• Jika kedua bilangan itu dikalikan hasilnya
• Jika keduanya dijumlahkan hasilnya

Kedua bilangan tersebut adalah dan . Persamaan selanjutnya diuraikan sebagai berikut:

Dengan demikian persamaan dapat difaktorkan menjadi:

---

Contoh: 3.2

Faktorkan persamaan

Penyelesaian:

Jika persamaan tersebut akan difaktorkan maka carilah dua bilangan

• Jika kedua bilangan itu dikalikan hasilnya
• Jika keduanya dijumlahkan hasilnya

Kedua bilangan tersebut adalah dan . Persamaan selanjutnya diuraikan sebagai berikut:

Dengan demikian persamaan dapat difaktorkan menjadi:

Melengkapi Kuadrat Sempurna

Bentuk-bentuk seperti , dan disebut kuadrat sempurna. Sebab untuk mencari akar-akar persamaan kuadratnya cukup langsung mengakarkan kedua sisi bentuk tersebut. Namun dalam banyak kasus, soal-soal tidak dalam bentuk kuadrat sempurna. Karena itu harus dilakukan modifikasi sehingga diperoleh bentuk kuadrat sempurna.

Syarat untuk melengkapi kuadrat menjadi kuadrat sempurna adalah konstanta di depan harus 1. Karena itu persamaan (3.1) harus dibagi , diperoleh:

---

3.3 Melengkapi Kuadrat Sempurna

Bentuk dasar untuk melengkapi kuadrat:

Contoh: 3.3

Ubah persamaan menjadi kuadrat sempurna.

Penyelesaian:

Ubah persamaan sehingga konstanta di depan menjadi 1. Ini berarti persamaan harus dibagi 2. Diperoleh:

Tambahkan kedua sisi persamaan dengan setengah koefisien lalu dikuadratkan. Dalam hal ini:

Selanjutnya selesaikan kedua sisi:

Berikut adalah teks yang telah diketik ulang menggunakan format

---

Untuk kasus soal di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara difaktorkan. Jika disusun kembali persamaan tersebut menjadi

. Untuk memfaktorkan maka cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya -6 dan jika dijumlahkan hasilnya 5. Angka tersebut adalah 6 dan -1.

Jadi persamaan jika difaktorkan menjadi .

Catatan:

Bentuk dan terlihat sangat berbeda. Namun dapat dipastikan bahwa kedua persamaan tersebut sama saja. Silahkan buktikan sendiri!!!

Mencari Persamaan Kuadrat Dari Akar yang Diketahui

Sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar dan maka persamaan kuadrat tersebut adalah:

Atau jika 3.2 diuraikan:

Berikut adalah teks yang telah diketik ulang menggunakan format

---

Contoh: 3.4

Akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat adalah

dan . Tentukan persamaan kuadratnya.

Penyelesaian:

Bila menggunakan 3.2 persamaan kuadratnya berbentuk:

Kalikan dengan 3

Bila menggunakan 3.3 diperoleh:

Kalikan dengan 3

Dengan demikian, menggunakan persamaan 3.3, pekerjaan lebih sederhana.

---

3.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk , dengan dan . Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari nilai yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar (root) atau penyelesaian dari persamaan kuadrat.

Menggunakan Rumus abc (Rumus Kuadrat)

Persamaan kuadrat dapat dicari akar-akarnya dengan terlebih dulu melengkapi kuadratnya. Nilai dan adalah koefisien persamaan yang merupakan bilangan ril, baik positif maupun negatif.

Contoh : 3.5

Dengan menggunakan rumus abc, carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut:

a.

b.

Penyelesaian:

a. Dari soal diperoleh dan

b. Dari soal diperoleh , dan

Akar-akar persamaan tersebut adalah dan .

Memfaktorkan

Contoh : 3.6

Dengan cara memfaktorkan, carilah akar-akar persamaan .

Penyelesaian:

Faktorkan dulu persamaannya:

Persamaan terakhir ini hanya akan benar jika dan hanya jika:

dan

Diperoleh akar-akar persamaan dan .

Melengkapi kuadrat sempurna

Contoh: 3.7

Dengan cara melengkapi kuadrat sempurna, carilah akar-akar persamaan

Penyelesaian:

Bagi persamaan dengan 3 agar koefisien menjadi 1.

Akar-akar persamaan adalah dan

Diskriminan

Dari rumus abc seperti yang ada pada persamaan 3.4 dapat ditulis dalam:

Dimana disebut diskriminan yang besarnya: (3.5)

Nilai diskriminan () dapat menunjukkan jenis akar persamaan kuadrat. Jenis akar dibedakan atas dua macam yaitu real dan tidak real.

Jika akar real Jika dua akar real yang berbeda Jika akar kembar atau dua akar real yang sama Jika akar tidak real atau bilangan kompleks

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut. Diketahui bahwa , maka jika:

• ; parabola terbuka ke atas (concave up)
• ; parabola terbuka ke bawah (concave down)
• ; parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x
• ; parabola menyinggung sumbu x
• ; parabola memotong sumbu x di dua titik

Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

• Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika
• Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika
• Menentukan persamaan sumbu simetri
• Menentukan nilai ekstrim grafik
• Menentukan koordinat titik balik

Contoh: 3.8

Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat

Penyelesaian:

a. Titik potong dengan sumbu x, jika

atau

Jadi memotong sumbu x di titik (0, 0) dan (-4, 0)

b. Titik potong dengan sumbu y, jika

maka,

Jadi memotong sumbu y di titik (0, 0)

c. Persamaan sumbu simetri:

Jadi, persamaan sumbu simetrinya .

d. Nilai Ekstrim/Nilai Stasioner untuk :

e. Koordinat titik balik:

Kombinasi Persamaan Linear Dengan Kuadrat

Contoh: 3.9

Carilah penyelesaian dari persamaan dan

Penyelesaian:

Dengan metode substitusi:

Dengan grafik terlihat sebagai berikut:

Mencari Persamaan Kuadrat Dari Grafik

Ini kebalikan dari menggambar grafik persamaan. Persamaan

mempunyai tiga konstanta; , , dan . Karena itu dibutuhkan tiga titik untuk mendapatkan persamaannya. Langkah-langkah yang dilakukan adalah:

• Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika . Titik ini digunakan untuk mencari nilai c.
• Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika .
• Menentukan persamaan sumbu simetri .
• Menentukan nilai ekstrim grafik .
• Nilai c adalah nilai y pada saat (kurva memotong sumbu-y).

Meskipun langkah ini kelihatannya ada empat, tetapi pada aplikasinya cukup dipilih yang dibutuhkan saja atau yang tersedia di gambar.

Contoh: 3.10

Carilah persamaan kuadrat dari grafik berikut.

Penyelesaian:

Terdapat tiga buah titik yang diketahui yaitu dua titik potong dengan sumbu x dan satu titik balik. Pada titik balik diketahui dua hal yaitu sumbu simetri -2 dan nilai ekstrim -4.

Dari sumbu simetri ( x = -2 = \frac{-b}{2a} )

Dari titik potong dengan sumbu y (0,0) dan (4,0) hanya akan dipakai salah satunya saja. Begitu nilai c telah diperoleh maka titik yang satunya lagi tak perlu digunakan. Substitusikan ke persamaan ( y = ax^2 + bx + c ). Telah diperoleh bahwa b = 4a sehingga persamaan kuadrat kini menjadi:

Titik (0,0) : x = 0 dan y = 0

Persamaan kuadrat kini menjadi:

Dari titik titik ekstrim y = 4 . Karena b = 4a dan c = 0 maka

persamaan titik ekstrim menjadi

Substitusikan (3) ke (1) diperoleh:

Kini semua konstanta persamaan telah diperoleh yaitu:

Persamaan Lingkaran

Ada tiga bentuk persamaan lingkaran:

1. Bentuk umum:
2. Bentuk standard: Dengan pusat lingkaran dan jari-jari .
3. Bentuk transformasi: Dengan pusat lingkaran dan jari-jari .

Contoh: 3.11

Buat grafik persamaan lingkaran .

Penyelesaian:

Mula-mula ubah ke bentuk standard:

Ini berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 5. Grafik ditunjukkan oleh gambar berikut.

Persamaan Ellips

Bentuk dasar dari persamaan ellips yang berpusat di (p, q) dengan panjang sumbu mayor 2a dan panjang sumbu minor 2b, dimana a>ba > b, adalah:

1. Jika sumbu mayor horisontal

Keterangan:

• Vertex (V) = titik potong antara sumbu mayor dengan ellips
• a = jarak dari pusat ke vertex pada sumbu mayor
• b = jarak dari pusat ke ellips pada sumbu minor
• c = jarak dari pusat ke fokus (F) dan terletak di sumbu mayor. Panjangnya

2. Jika sumbu mayor vertikal

Jika sebuah ellips berpusat di (0,0) dengan persamaan

kemudian digeser ke posisi dengan pusat (p, q) dengan persamaan

maka perpindahan tersebut ditunjukkan pada gambar di bawah. Dalam arah x, ellips berpindah sejauh satuan ke kanan, sementara dalam arah y, ellips berpindah sejauh satuan ke atas.

Contoh: 3.13

Tentukan vortex dan fokus dari ellips .

Penyelesaian:

Mula-mula ubah ke bentuk standard. Agar bagian di kanan menjadi 1, semuanya dibagi dengan 16

Dengan demikian ellips berpusat di titik (0,0) dengan , dan . Nilai harus selalu lebih besar dari nilai agar nilai selalu ada. Karena berada di bawah variabel , berarti sumbu mayor berada pada sumbu-. Sumbu mayornya vertikal.

Vertex atas ➔

Vertex bawah ➔

Fokus atas ➔

Fokus bawah ➔